【附录】两种可变投入的生产函数

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【附录】两种可变投入的生产函数

在本章中我们主要讨论了短期生产函数的问题，即假设其他要素投入不变，只有一种要素连续增加投入，得出了边际报酬递减的结论，并以此为基础对成本问题进行了分析。现在我们来看一下企业的长期生产函数问题。长期内企业可以调整全部的生产要素，这样就没有固定投入和可变投入的区分了，所有投入都是可变的。我们现在假设企业生产过程中需要投入资本（K）和劳动（L）两种生产要素，那么企业的长期生产函数就可以写为：

                                                                                 (9A.1)

这一生产函数表示了企业的两种生产要素投入量和最大的产出量之间的关系，下面我们就依据这一生产函数进行简单的分析。

9A.1 等产量线

当两种投入的生产要素都可变时，我们运用等产量曲线这个重要的工具来表现长期内企业的投入量变化和产出量变化之间的对应的关系，这种等产量曲线与第8章附录中介绍的无差异曲线是非常类似的。

9A.1.1 等产量曲线及其特征

  等产量线（isoquant curve）指的是生产某一产量的两种要素的不同数量组合的轨迹。见下图：

Q3

      

Q2

      

Q1

      

图 9A-1 无差异曲线

      

K

      

L

      

O

            

在图9A-1中，横轴表示生产要素劳动（L）的数量，纵轴表示生产要素资本（K）的数量，那么在整个坐标图中的每一个点就都代表着一定数量的L和一定数量的K的组合点，而有一定数量的L和一定数量的K就可以生产出一定的产量来，因此图形中的每一个点都代表着一定的产量，我们这些产量相等的点连起来就可以得到等产量曲线。图中Q1、Q2和Q3就是三条等产量曲线，第一条曲线代表一定特定的产量，线上的各点虽然两种要素的组合是不一样的，但它们生产的产品却是相同的。

等产量曲线与我们上一章附录中讲的无差异曲线非常类似，它具有如下和特征：

第一，等产量曲线是一条自左上方向右下方倾斜的曲线，斜率为负值，这说明在生产过程中L和K两种生产要素是可以相互替代的，在保持产量不变的情况下，增加一种要素的数量就要减少另一种的数量。

等产量曲线的倾斜并不一定都是负值，如果不是负值说明两种要素不具有替代性。比如等产量曲线如果是向右上方倾斜的，说明为了维持一定的产量，在我们增加一种要素的数量后必须同时增加另一种要素的数量才行。同样，企业也可以同时减少两种要素的投入数量而保护产量不变。很显然一个理性的企业是不可能在这种斜率为正值的等产量曲线上组织生产的，会一直减少要素的投入直到其斜率为负的状态。

第二，同一个图形中可以画出无数条的等产量曲线，离原点越远的等产量曲线代表的产量越高。如在图9A-1中，三条等产量曲线Q1代表的产量最低，Q2次之，Q3代表的产量最高。

第三，图形中任意两条等产量曲线都是彼此平行的，互不相交。

第四，等产量曲线不是一条直线而是一条凸向原点的曲线，说明其斜率的绝对值是逐渐减小的。这一特性来源于边际技术替代率递减规律。

9A.1.2 边际技术替代率

等产量曲线的斜率为负值说明两种生产要素是可以相互替代的，在产量不变的情况下增加一种要素的数量就必须减少另一种要素的数量。边际技术替代率（Marginal Rate of Technical Substitution，MRTS）就是指在产量保持不变的前提条件下，增加一种生产要素的数量与可以减少的另一种生产要素的数量之比。其公式为：

                                                (9A.2)

边际技术替代率也是等产量曲线的斜率。

由于等产量曲线上第一个点代表的产量都是相等的，那么当发生要素之间的相互替代时，减少一种生产要素的数量带来的产量的减少数量必然就会等于增加的另一种生产要素的数量带来的产量的增加量。也就是存在着下述关系：

                                              (9A.3)

由此可得：

                                              (9A.4)

通常情况下，随着一种生产要素数量的增加，该要素对另外一种要素的边际技术替代率是递减的，这种现象称之为边际技术替代率递减规律。这种情况我们可以运用公式（9A.4）加以解释。由于存在着边际报酬递减规律，随着一种生产要素投入量的增加，它的边际产量就会递减，从上式中可以看出，我们假设用劳动L要素来替代资本K要素，随着L的增加，其边际产量 就会下降，而同时减少的K的边际产量 就会增加，这样 的比值即边际技术替代率的绝对值就会减小。

边际技术替代率是等产量曲线的斜率，由于其存在着递减的特性，所以等产量曲线的斜率就会随着L投入的增加而不断的减小，也就是会成为一条凸向原点的曲线。

9A.2 等成本线

等成本线（Isocost Curve）指的是在生产要素价格既定的条件下，企业一定数量的投入成本所能购买到的两种生产要素最大数量的组合点的轨迹。见下图：

C

      

图 9A-2 等成本线

                    

L

      

O

      

K

      

图9A-2中横轴代表劳动L的数量，纵轴代表资本K的数量，假设企业的成本为C，劳动要素的价格为 ,资本要素的价格为 。我们可以在横轴上找到把所有的成本用来购买L所能购买的数量C/ ，在纵轴上找到把所有成本用来购买K所购买到的数量C/ ，然后把两个点连起来即得到等成本曲线C。等成本曲线上的每一个点都表示在企业既定的投入成本和两种要素既定的价格下企业所能购买到的两种要素的最大数量，曲线外部即右上方的每一个点都代表企业当前成本投入水平下所不能买到的要素数量组合，而其内部即左下方的每一个点都代表企业当前能买到的要素数量组合但成本花不完的情况。

等成本曲线我们也可以用成本方程式推导出来，我们用 和 表示L和K的数量，则有成本方程为：

                                             (9A.5)

由于两种要素的价格 和 以及成本C为既定即为常数，上述成本方程式可以整理为：

                                               (9A.6)

上式表明成本曲线就是一条以 为斜率，以 为截距的直线，即图9A-2中的C曲线。

9A.3 生产要素最佳组合

  把等产量曲线和等成本曲线结合在一起，我们就可以分析生产要素的最佳组合问题，也就是生产的均衡问题。生产者均衡就是用最低的成本生产最高的产量，可以有两种情况，一种是在成本既定的情况下实现产量最大，另一种是在产量既定的情况下实现成本最低。见下图：

图 9A-3 要素最佳组合

                           

Q

      

E

      

E

                    

L

      

O

      

K

                             

C

                    

L

      

O

      

K

                    

在图9A-3中左侧的图形表示的是企业的投入成本既定的时候实现产量最大的情况，当企业投入的成本确定之后，就可以在既定的要素价格下形成一条等成本曲线C，而在图中可以画出无数条的等产量曲线，其中一条必然与等成本曲线Q相切，这条与等成本曲线相切的等产量曲线 所代表的产量就是当前成本下所能达到的最高产量。比它离原点远的等产量曲线 与等成本线没有交点，说明在目前成本下是没办法生产这样高的产量的；而离原点更近的等产量曲线 与等成本线有两个交点，说明当前成本下可以生产这一产量，但这一产量低于与等成本曲线相切的等产量曲线代表的产量。因此，企业只有投入 数量的资本、 数量的劳动，在切点E点进行生产才能够实现产量的最大化。

在图9A-3的右侧的图形表示的当产量既定的时候实现最低成本的情况，产量既定时可以画出一条等产量曲线Q，同时可以在图中画出无数条的等成本曲线，其中必有一条与等产量线Q相切，这条相切的等成本曲线 所代表的成本就是最低成本。任何低于这一等成本曲线的成本如 都不可能生产这一产量，，而任何可以生产这一产量的其他成本如 都高于成本 ，因此企业只能在切点E投入 的资本和 的劳动才能实现最低成本。

由此我们得到：企业生产要素投入的最佳组合点就是等产量曲线和等成本曲线的切点，在此点组织生产企业就可以实现用最低的成本生产最大的产量，从而实现企业生产的均衡。

在切点两条曲线的斜率是相等的，也就是：

，或者                                           (9A.7)

这就是生产要素最佳组合的实现条件。

9A.4 生产扩展线

在生产要素价格不变的情况下，如果企业扩大生产规模增加成本的投入，那么等产量曲线就会平等的向外移动，同时企业的生产均衡点也会向外移动，这种不同成本下生产均衡点移动的轨迹称为生产扩展线（Production Expansion Line），又称为生产扩展径路。见下图：

P

      

图 9A-4 生产扩展线

         

K

      

L

      

O

              

图9A-4中的P曲线就是生产扩展线，它表示当生产要素价格不变的情况下，当企业的投入增加时，企业应该沿着生产要素最优组合来扩展时生产。当企业沿着这条线扩大生产规模时，就可以始终实现生产要素的最优组合，从而使生产规模不断地沿着最有利的方向扩大。

生产扩展线的斜率实际上就是企业生产规模扩大的过程中所投入的资本和劳动两种生产要素的数量比例，可称之为资本-劳动比（Proportion of Capitaland Labor）。根据生产扩展线斜率的大小可以大致地判断企业生产过程中生产要素集约化的倾向，如果斜率比较大就属于资本密集型，如果斜率比较小就属于劳动密集型。